UKURAN LETAK

Selain ukuran pemusatan terdapat pula ukuran letak. Salah satu dari ukuran letak adalah median yang menunjukkan nilai skor tengah dalam susunan skor yang diurutkan mulai dari yang terkecil ke yang terbesar. Dengan demikian median terletak di tengah-tengah data yang telah diurutkan dan dapat dianggap bahwa median membagi data yang telah diurutkan itu menjadi dua sub kelompok yang sama banyak. Selain median yang telah kita pelajari sebelum ini ada ukuran letak lainnya yakni Kuartil, Desil, dan Persentil yang akan kita pelajari berikut.

Pengertian Kuartil, Desil, dan Persentil.

• Kuartil

Kuartil adalah bilangan yang 'dapat dianggap' membagi data yang telah diurutkan menurut besarnya, dari yang terkecil ke yang terbesar, menjadi empat sub kelompok yang sama banyak. Ada 3 macam kuartil yakni:

-          Kuartil pertama (Q₁)

-          Kuartil kedua (Q₂) yang juga merupakan median, dan

-          Kuartil ketiga (Q₃)

Nilai kuartil tidak harus terdapat pada data.

• Desil

Desil ialah bilangan yang 'dapat dianggap' membagi data yang telah diurutkan menurut besarnya, dari yang terkecil ke yang terbesar, menjadi sepuluh sub kelompok yang sama banyak. Dengan demikian terdapat 9 macam desil yakni mulai dari desil pertama (D₁) sampai dengan desil kesembilan (D₉).

• Persentil

Persentil ialah bilangan yang 'dapat dianggap' membagi data yang telah diurutkan menurut besarnya, dari yang terkecil ke yang terbesar, menjadi 100 sub kelompok yang sama banyak. Dengan demikian terdapat 99 macam persentil yakni mulai dari persentil pertama (P₁) sampai dengan persentil ke sembilan puluh sembilan (P₉₉).

Mudah dipahami bahwa Median = Q₂ = D₅ = P₅₀

Cara Menghitung Kuartil, Desil, dan Persentil Data Tunggal (Tak Terkelompok)

Kuartil

Kuartil ke-i ialah bilangan yang 'dapat dianggap' sebagai data urutan ke- , i = 1, 2, 3 dinotasikan dengan sehingga kuartil ke-i yang dilambangkan dengan Q_i ditentukan oleh:

Q_i = , dengan i = 1, 2, 3

Contoh 1:

a.       Berikut data berat badan (dalam satuan kilogram) dari 11 orang siswa:

49, 44, 62, 54, 38,  40, 53, 46, 45, 36, 42. Tentukan Q₁, Q_2, dan Q₃.

b.      Dari 13 siswa yang diukur tinggi badannya (dalam satuan sentimeter), diperoleh data sebagai berikut: 170, 162, 157, 158, 165, 173, 160, 159, 171, 168, 175, 175, 180. Tentukan Q₁, Q_2, dan Q₃.

c.       Selama 12 hari dilakukan pengamatan terhadap jumlah pengunjung sebuah supermarket yang baru dibuka sehingga diperoleh data: 96, 70, 82, 50, 84, 71, 28, 64, 72, 68, 72, 50. Tentukan Q₁, Q_2, dan Q_3.

Jawab:

1.   Data diurutkan sehingga diperoleh:  

36   38   40   42   44   45   46   49   53   54   62     (n = 11)

Selanjutnya, Q₁, Q_2, dan Q₃ ditentukan sebagai berikut:

• Q₁ = =  = 40. Jadi, Q₁ = 40

• Q₂ =  =  = 45. Jadi, Q₂ = 45

• Q₃ = =  = 53. Jadi, Q₃ = 53

36  38   40   42   44   45   46   49   53   54   62

                    ↓                   ↓                   ↓

                   Q₁                       Q₂                 Q₃           

2.      Data diurutkan sehingga diperoleh:

157   158   159   160   162   165   168   170   171   173   175   175   180    (n = 13)

Selanjutnya, Q₁, Q_2, dan Q₃ ditentukan sebagai berikut:

• Q₁ = skor ke  = skor ke  = skor ke 3

  Jadi, Q₁ terletak di antara skor ke-3 dan skor ke 4, dan nilainya adalah:

  Q₁ =   (159 + 160) = 159,5

• Q₂ = skor ke  =  = 7.

  Jadi, Q₂ adalah skor ke-7 = 168

• Q₃ = skor ke  =  = 10.

  Jadi, Q₃ terletak di antara skor ke-10 dan skor ke-11

  Q₃ =   (173 + 175) = 174

157   158   159   160   162   165   168   170   171   173   175   175   180

                         ↓                              ↓                             ↓

                    Q₁ = 159,5                    Q₂ = 168                Q₃ = 174   

Pada contoh ini, nilai Q₁ dan Q₃ tidak terdapat pada data tetapi dapat ditentukan dari rataan dua skor yang mengapitnya..

3.      Data diurutkan sehingga diperoleh:

28   50   50   64   68   70   71   72   72   82   84   96    (n  = 12)

Selanjutnya, Q₁, Q_2, dan Q₃ ditentukan sebagai berikut:

• Q₁ = skor ke  = skor ke  = skor ke 3.

  Jadi, diperoleh: Q₁ = skor ke-3 +  (skor ke-4  –  skor ke-3)

                                = 50 +  (14) = 50 + 3,5 = 53,5

• Q₂ = skor ke  = skor ke = skor ke 6.

   Jadi, diperoleh: Q₂  = skor ke-6 +  (skor ke-7  –  skor ke-6)

                = 70 +  (1) = 70 + 0,5 = 70,5

• Q₃ = skor ke  = skor ke = skor ke 9.

   Jadi, diperoleh: Q₃ = skor ke-9 +  (skor ke-10  –  skor ke-9)

                               =  72 +  (82 - 72) = 72 + 7,5 = 79,5

28   50   50   64   68   70   71   72   72   82   84   96

                     ↓                    ↓                   ↓

                Q₁ = 53,5          Q₂ = 70,5      Q₃ = 79,5

Desil

Desil ke-i ialah bilangan yang 'dapat dianggap' sebagai data (skor) yang urutan besarnya bernomor , i = 1 ,2 ,3 , … , 9 sehingga desil ke-i yang dilambangkan dengan D_i ditentukan oleh:

            D_i = skor ke  dengan i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Sebagaimana kuartil, nilai desil juga tidak harus terdapat pada data.

Contoh 2:

Tentukan nilai D₆ dari data pengamatan terhadap jumlah pengunjung sebuah toko buku yang baru dibuka sebagai berikut: 9, 9, 10, 13, 14, 17, 19, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 29, 33, 35, 35, 39, 43, 47.

Jawab:

Data sudah diurutkan yakni:

9, 9, 10, 13, 14, 17, 19, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 29, 33, 35, 35, 39, 43, 47.  ( n= 20)

Selanjutnya D₆ ditentukan sebagai berikut:

    

D₆ = skor ke  = skor ke  = skor ke 12,6

D₆ = skor ke 12 + 0,6 ( skor ke-13 – skor ke-12)

           = 25 + 0,6 ( 27 – 25)

           = 25 + 1,2

           = 26,2

Persentil

Serupa dengan cara menghitung kuartil dan desil di atas, persentil ke-i ialah bilangan yang 'dapat dianggap' sebagai data (skor) yang urutan besarnya bernomor , dengan i = 1, 2, 3, … , 99 sehingga persentil ke-i yang dilambangkan dengan P_i ditentukan oleh:

            P_i = skor ke  dengan i = 1, 2, 3, … , 99

Sebagaimana kuartil dan desil, nilai persentil juga tidak harus terdapat pada data.

Cara menghitung Kuartil, Desil, dan Persentil Data dalam Daftar Distribusi Frekuensi Berkelompok

Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi berkelompok, kuartil dihitung dengan rumus sebagai berikut.

                              Q_i = B_b + p, dengan i = 1, 2, 3

dengan

Q_i :  kuartil ke-i

B_b :  Batas bawah kelas Q_i yaitu kelas interval yang memuat Q_i

p   :  panjang kelas Q_i

F   :  Jumlah semua frekuensi kelas sebelum kelas Q_i

f    :  frekuensi kelas Q_i

Contoh 3:

Tentukan kuartil pertama, kedua, dan ketiga dari data Nilai Ujian Matematika siswa SMP X berikut.

Nilai	f
31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100	2 3 5 13 25 20 12
Jumlah	80

Jawab:

Untuk memudahkan perhitungan, pada tabel tersebut dapat ditambahkan kolom frekuensi  kumulatif (f_kum ) seperti berikut ini.

Nilai	f	fkum
31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100	2 3 5 13 25 20 12	2 5 10 23 48 68 80
Jumlah	80	-

•  Q₁ terletak pada skor ke = skor ke= skor ke 20.

   sehingga Q₁ terletak pada kelas keempat yaitu kelas [61 – 70]

   diperoleh:

batas bawah = B_b = 61 – 0,5 = 60,5

panjang kelas = p = 10

F = 10 (f_kum sebelum kelas Q₁)

f = 13 (frekuensi kelas Q₁)

   Jadi,

   Q₁ = B_b + p= 60,5 + 10 = 60,5 + 10= 60,5 + 7,69 = 68,19

•  Q₂ terletak pada skor ke  = skor ke = skor ke  40

   sehingga Q₂ terletak pada kelas kelima yaitu kelas [71 – 80]

   diperoleh:

Batas bawah = B_b = 71 – 0,5 = 70,5

panjang kelas = p = 10

F = 23 (f_kum sebelum kelas Q₂)

f  = 25 (frekuensi kelas Q₂)

   Jadi,

   Q₂ = B_b + p= 70,5 + 10= 70,5 + 10= 70,5 + 6,8 = 77,3

•  Q₃ terletak pada data ke  = skor ke  = skor ke 60.

   sehingga Q₃ terletak pada kelas keenam yaitu kelas [81 – 90]

   diperoleh:

Batas bawah = B_b = 81 – 0,5 = 80,5

panjang kelas = p = 10

F = 48 (f_kum sebelum kelas Q₃)

f = 20 (frekuensi kelas Q₃)

   Jadi,

   Q₃ = B_b + p= 80,5 + 10= 80,5 + 10= 80,5 + 6 = 86,5

Secara serupa dengan cara menghitung kuartil dari data dalam tabel distribusi frekuensi terkelompok di atas, untuk desil dari data dalam daftar distribusi frekuensi berkelompok ditentukan oleh:

      D_i = B_b + p, dengan i = 1, 2, 3, … , 9

dengan

D_i :  Desil ke-i

B_b :  Batas bawah kelas D_i yaitu kelas interval yang memuat D_i

p   :  panjang kelas D_i

F   :  Jumlah semua frekuensi kelas sebelum kelas D_i

f    :  frekuensi kelas D_i

Sedangkan untuk persentil dari data dalam daftar distribusi frekuensi berkelompok ditentukan oleh:

      P_i = B_b + p, dengan i = 1, 2, 3, … , 99

dengan

P_i :  Persentil ke-i

B_b :  Batas bawah kelas P_i yaitu kelas interval yang memuat P_i

p   :  panjang kelas P_i

F   :  Jumlah semua frekuensi kelas sebelum kelas P_i

f    :  frekuensi kelas P_i

Latihan:

1.      Tentukan Q₁ dan D₄ dari data berikut:

1. 83, 53, 54, 78, 78, 57, 59, 65, 62, 69, 75, 72, 69, 71
2.  

Nilai	3	4	5	6	7	8	9
Frekuensi	3	5	12	17	14	6	3

2.      Berikut adalah skor tes ujian masuk SMP X:

Tabel Skor Tes Ujian Masuk SMP X

Nilai	f
11,1 – 20,0 20,1 – 30,0 30,1 – 40,0 40,1 – 50,0 50,1 – 60,0 60,1 – 70,0 70,1 – 80,0 80,1 – 90,0 90,1 – 100,0	2 5 8 17 25 20 15 12 8
Jumlah	112

a.   Hitunglah Q3, D7, dan P53 dari data tersebut.

b. Bilamana akan diterima 65% dari pendaftar, berapa nilai minimal yang akan diterima?