Setelah kita pelajari ukuran pemusatan data dan ukuran
letak, satu lagi ukuran yang harus diketahui adalah ukuran keragaman. Ukuran keragaman yang akan dipelajari
adalah ragam atau variansi dan simpangan baku.
Ragam atau Variansi,
Simpangan Baku
♦ Ragam atau variansi untuk data populasi
diberi simbol σ2 , sedangkan ragam atau variansi untuk sampel diberi
simbol s2.
♦ Jika kita mempunyai sampel berukuran n dengan
data x1, x2, ... , xn dan memiliki rata-rata
, maka ragam atau variansi dari data tersebut didefinisikan
sebagai berikut:
, maka ragam atau variansi dari data tersebut didefinisikan
sebagai berikut:
s2
= 
…………………………………………………….(1)
…………………………………………………….(1)
Adapun simpangan baku untuk data sampel didefinisikan
sebagai akar kuadrat dari ragamnya dan dirumuskan sebagai berikut:
.………………………………………(2)
Bentuk lain untuk rumus ragam sampel adalah:
s2 = 
……………………………………………(3)
……………………………………………(3)
Contoh 1:
Tentukan ragam dan simpangan baku dari data sampel
berikut:
48, 50, 52, 55, 57, 69, 81, 84
Jawab:
*) Rata-rata hitungnya adalah:
= 
= 
= 62
Untuk memudahkan perhitungan dapat dibuat tabel seperti
berikut:
|
xi
|
( xi -
) |
( xi -
)2 |
|
48
50
52
55
57
69
81
84
|
-14
-12
-10
-7
-5
7
19
22
|
196
144
100
49
25
49
361
484
|
|
Jumlah
|
|
1408
|
Sehingga diperoleh:
Ragam = s2 = 
= 
= 201,14
= = 201,14
Simpangan baku = s = 
≈ 14,18.
≈ 14,18.
Apabila digunakan rumus (3)
untuk menentukan ragam, tabel yang dibuat untuk perhitungan adalah sebagai
berikut:
|
xi
|
xi2
|
|
48
50
52
55
57
69
81
84
|
2304
2500
2704
3025
3249
4761
6561
7056
|
 496 |
 32160 |
Sehingga diperoleh:
Ragam = s2 =
= 
= 
= 
= 201,14
= = = 201,14
Simpangan baku = s = ≈ 14,18.
≈ 14,18.
♦ Untuk data sampel yang telah
disusun dalam daftar distribusi frekuensi berkelompok, s2 ditentukan
sebagai berikut:
s2
= 
…………………………………………………………..(4)
…………………………………………………………..(4)
Adapun simpangan bakunya juga
didefinisikan sebagai:
……….………………………………………(5)
Bentuk lain untuk rumus ragam data
sampel yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi berkelompok adalah:
s2 = 
…………………………………………….…(6)
…………………………………………….…(6)
dengan xi : tanda
kelas dan n : jumlah frekuensi.
Contoh 2:
Hitunglah ragam dan simpangan baku dari data sampel berikut:
|
Nilai
|
fi
|
|
31
– 40
41
– 50
51
– 60
61
– 70
71
– 80
81
– 90
91
– 100
|
4
3
11
21
33
15
3
|
|
Jumlah
|
90
|
Jawab:
Untuk memudahkan
perhitungan dapat dibuat tabel berikut:
|
Nilai
|
Titik Tengah (xi)
|
fi
|
fi xi
|
|xi -
| |
(xi -
)2 |
fi (xi
-
)2 |
|
31
– 40
41
– 50
51
– 60
61
– 70
71
– 80
81
– 90
91
– 100
|
35,5
45,5
55,5
65,5
75,5
85,5
95,5
|
4
3
11
21
33
15
3
|
142
136,5
610,5
1375,5
2491,5
1282,5
286,5
|
34,8
24,8
14,8
4,8
5,2
15,2
25,2
|
1211,04
615,04
219,04
23,04
27,04
231,04
635,04
|
4844,16
1845,12
2409,44
483,84
892,32
3456,60
1905,12
|
|
Jumlah
|
|
90
|
6325
|
|
|
15845,6
|
Rata-rata hitung untuk data pada tabel
tersebut adalah:
= 
= 70,3
Jadi, ragam dan simpangan bakunya adalah:
Ragam = s2 = 
= 
= 178,04
= = 178,04
Simpangan baku = s = 
= 13,34.
= 13,34.
Apabila akan menggunakan rumus (6) untuk
menentukan ragam, tabel yang perlu dibuat adalah sebagai berikut:
|
Nilai
|
Titik Tengah (xi)
|
fi
|
fi xi
|
xi2
|
fixi2
|
|
31
– 40
41
– 50
51
– 60
61
– 70
71
– 80
81
– 90
91
– 100
|
35,5
45,5
55,5
65,5
75,5
85,5
95,5
|
4
3
11
21
33
15
3
|
142
136,5
610,5
1375,5
2491,5
1282,5
286,5
|
1260,25
2070,25
3080,25
4290,25
5700,25
7310,25
9120,25
|
5041
6210,75
33882,75
90095,25
188108,25
109653,75
27360,75
|
|
Jumlah
|
|
90
|
6325
|
|
460352,5
|
Jadi diperoleh:
Ragam = s2 =
= 
=
=
= 178,04
== = 178,04
Simpangan baku = s = = 13,34.
= 13,34.
Menghitung Ragam dan Simpangan Baku dengan Cara Pengkodean
Anda telah mengetahui cara menghitung rata-rata
hitung menggunakan cara pengkodean. Cara tersebut dapat juga digunakan untuk
menghitung ragam (variansi) dan simpangan baku pada data yang disusun dalam
daftar distribusi frekuensi berkelompok. Rumusnya adalah sebagai berikut:
s2
= p2
…………………………...............................(7)
…………………………...............................(7)
dengan
s2 = ragam (variansi)
p = panjang kelas
k = banyak kelas
n = banyaknya data
fi = frekuensi kelas
ke-i
ci = …, -3, -2, -1,
0, 1, 2, 3, …
Contoh 3:
Hitunglah ragam dan simpangan baku data pada contoh 2 dengan cara
pengkodean!
Jawab:
Untuk memudahkan perhitungan dibuat tabel sebagai berikut:
Nilai |
Titik Tengah (xi)
|
fi
|
ci
|
fi ci
|
fi ci2
|
|
31
– 40
41
– 50
51
– 60
61
– 70
71
– 80
81
– 90
91
– 100
|
35,5
45,5
55,5
65,5
75,5
85,5
95,5
|
4
3
11
21
33
15
3
|
-4
-3
-2
-1
0
1
2
|
-16
-9
-22
-21
0
15
6
|
64
27
44
21
0
15
12
|
|
Jumlah
|
|
90
|
|
-47
|
183
|
Dari tabel
tersebut diperoleh:
p = 10 ∑ fi
ci = -47
n = 90 ∑ fi
ci2 = 183
Jadi, ragam dan simpangan bakunya adalah:
Ragam = s2 = (10)2
= 100 
= 100(1,78)
= 178
Simpangan baku = s = 
= 13,34
= 13,34
Latihan Soal :
1.
Hitunglah ragam dan simpangan baku dari data sampel berikut.
a.
7, 13, 16, 10, 11, 13, 10, 8,
16
b.
|
x
|
35
|
40
|
42
|
45
|
47
|
|
f
|
1
|
4
|
9
|
8
|
3
|
2.
Hitunglah ragam dan simpangan baku dari data skor TOEFL
100 mahasiswa FMIPA UNY angkatan tahun 2007 berikut ini.
|
Skor
|
f
|
|
350
– 374
375
– 399
400
– 424
425
– 449
450
–474
475
– 499
500
- 524
|
28
20
15
15
15
13
4
|
|
Jumlah
|
100
|
Tidak ada komentar:
Posting Komentar